烟台家教：珠海市第二中学2017－2018 学年度第一学期期中考试

来源：烟台家教中心 日期：2018/8/30
一．选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.设集合 A  1, 0 ,1, 2，  | 1 2 B  x y  x  ，
则右图中阴影部分所表示的集合为 （ ）
A. 1 B. 0 C. 1，0 D. 1，0，1
2.若 为第二象限角，则复数z  (sin  cos )  (tan  2017) i（i为虚数单位）对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A． f x e g x x x ( )  , ( )  ln B．
0
3 3
( ) , g(x) x
x
x
f x  
C． g x x
x
x
f x , ( ) tan
1 sin 2
1 cos 2
( ) 
 D． ( ) lg( 1) lg( 1) , ( ) lg( 1) 2 f x  x   x  g x  x 
4.下列有关命题的说法正确的是 （ ）
A．命题“若1 2 x  ，则x 1”的否命题为：“若 1 2 x  ，则x 1”；
B．“m1”是“直线x my  0和直线x  my  0互相垂直”的充要条件；
C．命题“xR，使得 1 0 2 x  x   ”的否定是：“xR，均有 1 0 2 x  x   ”；
D．命题“已知x, y为一个三角形的两内角，若x  y，则sin x  sin y”的逆命题是真命题.
5.函数 f (x)  ln x  sin x (  x  且x  0)的图像大致是 （ ）
 
A. B. C. D.
6.已知函数 f (x)  2sin(2x )(   0)，将 f (x)的图像向左平移
3
个单位长度后所得的函数图像
过点 (0 ,1)，则函数g(x)  cos(2x ) （ ）
A．在区间( , )
6 3
 
 上单调递减 B．在区间( , )
6 3
 
 上单调递增
C．在区间( , )
6 3
 
 上有最大值 D．在区间( , )
6 3
 
 上有最小值
7.若
2 ( 1)
sin sin sin sin ( *)
5 5 5 5 n
n n
S n N
    
      ，则1 2 2018 S , S , , S 中值为0的有（）个
A．200 B．201 C．402 D．403
8．若函数
1
f (x) x x 2
  ， x g(x)  x  e ，h(x)  x  ln x 的零点分别为
1 x ，
2 x ， 3 x ，则（ ）
A． 2 3 1 x  x  x B． 2 1 3 x  x  x C． 1 2 3 x  x  x D． 3 1 2 x  x  x
9.设命题 p :若定义域为R 的函数 f (x)不是偶函数，则xR， f (x)  f (x) .
命题q : f (x)  x x 在（，0）上是减函数,在（0，）上是增函数.则下列判断错．误．的是( )
A． p  q为真 B． p  q为假 C． p 为假 D. q为真
10.已知定义在R 上的函数 y  f  x满足条件  
3
2
f x f x
 
    
 
，且函数
3
4
y f x
 
   
 
为奇函
数，下列有关命题的说法错．误．的是 （ ）
A．函数 f  x是周期函数； B．函数 f  x为R 上的偶函数；
C．函数 f  x为R 上的单调函数； D． f  x的图象关于点
3
,0
4
 
 
 
对称．
11. 在直角三角形ABC 中， 0 BCA  90 ，CACB 1，P 线段 AB 上任意一点，且AP  AB，
若CP• AB  PA•PB，则实数 的取值范围为 ( )[
A．
1
,1
2
 
 
 
B．
2 2
,1
2
  
 
 
C．
1 1 2
,
2 2
  
 
 
D．
1 2 1 2
,
2 2
   
 
 
12.已知函数2 f (x)  (x  4x)sin(x  2)  x 1在[1, 5]上的最大值为M ，最小值为m，
则 M m （ ）
 
A．0 B．2 C．4 D．6
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若函数2 f (x)  ax bx 1是定义在[1 a , 2a]上的偶函数，则 f (2a  b)  _________.
14．已知正方形的四个顶点 A(1,1)、B(1,1)、C(1,1)、D(1,1)分别在
曲线2 y  x 和 2 y  1 x 1上，如图所示，若将一个质点随机投入
正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是______.
15．若函数 
2, 0
2
lg , 0
x
kx x
f x x
x x
  
  
  
有且只有2 个不同零点，则实数k 的取值范围是_____.
16．在 ABC三角形，角 A , B , C的对边分别为a , b , c，若sinC  sin(B  A)  sin 2A,
3
sin
3
C  ，且a b  3 6 ,则ABC的面积为___________.
三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算部骤.第17-21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答，第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必作题：共60 分
17．（本小题满分12 分）
已知函数( ) sin(3 ) cos(3 ) sin 3 ( )
3 6
f x x x m x m R
 
      ，
17
( ) 1
18
f
  .
（1）求m的值；
（2）在 ABC三角形，角 A , B , C的对边分别为a , b , c，若 ( ) 3
3
B
f  ，
且2 2 2 a  2c  b ，求tan A.
18．（本小题满分12 分）
一个口袋中装有n个红球(n  5且n N)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不
同则为中奖.
(1)用n 表示一次摸奖中奖的概率n p ；
(2)若n  5，设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有 X 次中奖,求 X 的数学期望EX ；
 
(3)设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率P ,当n 取何值时， P 最大？
19．（本小题满分12 分）
如图所示的几何体中， ABC  A1B1C1为三棱柱，且 1 AA 平面ABC，
四边形 ABCD为平行四边形，AD 2CD， 0 ADC  60 .
（1）求证： 1 1 C D/ /平面ABC；
（2）若1 AA  AC，求证： 1 1 1 AC 平面A BCD；
（3）若CD  2，二面角 1 AC DC的余弦值为若
5
5
，求三棱锥1 1 C  ACD的体积．
20．（本小题满分12 分）
已知椭圆C ： 1 2
2
2
2
 
b
y
a
x
（a  b  0）的左、右焦点分别为 1 2 F 、F ，过点 2 F 作直线l 与
椭圆C交于M、N两点.
（1）已知M(0, 3)，椭圆C的离心率为
1
2
，直线l交直线x  4于点P ，
求1 FMN 的周长及 1 FMP的面积；
（2）当2 2 a  b  4且点M 在第一象限时，直线l交 y 轴于点Q， 1 1 FM  FQ，
证明：点M 在定直线上.
21．（本小题满分12 分）
已知函数 f (x) e , g(x) mx n . x   
（1）设h(x)  f (x)  g(x) .
①若函数h(x)在x  0处的切线过点(1 , 0)，求m n的值；
②当n  0时，若函数h(x)在(1, )上没有零点，求m的取值范围.
 
（2）设函数
( ) ( )
1
( )
g x
nx
f x
r x   ，且n  4m (m  0)，求证：当x  0时，r(x) 1．
(二)选作题：共10 分[
请考生在第22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时用2B 铅笔在
答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是
 
 
 
 
y t
x t
2
1
1
2
3
3
（t 为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点， x
轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程式为)
6
4cos(
    .
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若P(x, y)是直线l与曲线面 )
6
4cos(
    的公共点，求  3x  y的取值范围.
23．（本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x  3|  | x 1| .
（1）解不等式 f (x)  4；
（2）若存在实数0 x ，对任意实数t不等式 f (x )  mt  t m 0 恒成立，求实数m的取值范围．
 
珠海市第二中学2017－2018 学年度第一学期期中考试
高三年级 （理科数学）试题参考答案
一、 选择题：（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分）
二、填空题：（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分）
13. 5 14.
8 3
24
 
15. k  0 16.
3 2
2
三、解答题（本题共70 分）说明：本答案每题仅提供了一种解法参考，其它解法对应给分.
17．【解】（1）由题设知：
17 19 17 1
1 ( ) sin cos3 sin 1
18 6 6 2 2
m
f m
  
          ，
∴m1……………………………………………………………………4分
（2）由题设及（1）知： 3 ( ) sin( ) cos( ) sin sin 3 cos
3 3 6
B
f B B B B B
 
        ；
∴ 3
sin( )
3 2
B
  ，又
4
3 3 3
B
  
   ， 得
3
B
 ；……………………………7 分
∴ 2 2 2 b  a  c  ac，又 2 2 2 a  2c  b ， 得a  3c , b  7c；………………………9分
∴
1
cos
2 7
A   ，
3 3
sin
2 7
A   ；…………………………………………………11 分
∴tan A  3 3…………………………………………………………………………12 分
18．【解】（1）由题设知：
1 1
5
2
5
10
( 5)( 4)
n
n
n
C C n
p
C n n 
 
 
…………………………………………3 分
（2）由（1）及题设知：5 5
5
, ~ (3 , )
9
p  X B p ∴
5
3
EX  ………6 分
（3）由（1）及题设知： 1 2 3 2
3 (1 ) 3( 2 ) (0 1) n n n n n n P  C  p p  p  p  p  p 
∴ 2 ' 3(3 4 1) 3(3 1)( 1) n n n n P  p  p   p  p 
即当
1
(0, )
3 n p  时，P'  0，其为单增区间；当
1
( ,1)
3 n p  时，P'  0 ，其为单减区间.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D B D A C C A A C B D
 
∴当
1
3 n p  ，即
10 1
( 5)( 4) 3
n
n n
 
，得n  20时，P 最大. …………………………12分
19.（1）【证明】连1 BC 交1 BC 于M 点，连BD交AC 于N 点，则1 MN 平面ABC .
由平几知：M 为1 BC 的中点， N 为BD的中点，
即MN 为1 BC D的中位线. 1 MN / /C D .
又1 1 1 1 C D 平面ABC , C D/ /平面ABC .……………3 分
（2）【证明】1 1 1 AA 平面ABCD, AC 平面ABCD,AA  AC , AA CD.
又1 1 1 1 1 AA  AC, 知AAC C为正方形,AC  AC .
在ACD中由余弦定理知： 2 2 2 AC  3CD得 AD  AC CD , CD  AC .
又1 1 1 AC AA  A, CD 平面A ACC .
又1 1 1 1 AC 平面A ACC , CD  AC .
又1 1 1 1 AC CD  C, AC 平面ABCD.……………………7分
（3）【解】作1 CH  C D交 1 C D于H ，连AG，由（2）知： 1 AC 平面CC D.
1 1 1 AC C D,C D 平面ACH , AHC为二面角AC DC的平面角. ……9 分
5
cos , tan 2
5
AC
AHC AHC
CH
      ；由CD  2知： AC  2 3得CH  3；
在1 C CD中由平几知：
1 CC  2 3 ，于是得 1 1 AAC C 为正方形.
由（2）知：
1 1 1 1
1 1
( 2 3 2 3) 2 4
3 2 C ACD D ACC V V          . ………………………12 分
20．（1）【解】由题设知： 2 2
3
1
2
b
a b
a
 

  得a  2，∴椭圆C的方程为
2 2
1
4 3
x y
  ……2 分
∴ 1 FMN 的周长 1 1 1 2 2 1  FM MN  NF  FM MF  F N  NF  4a  8 ; ……………3 分
由1 2 F (1,0) , F (1,0)知直线l的方程为 1
3
y
x   ，得P(4,3 3)，
∴F1MP的面积 1 2
1
3 ( 3 3) 4 3
2
 F F    .………………………………………6分（2）
【证明】设2 2
0 M(x, y)且x, y  0 , Q(0, y ) , c  a b ,由题设知： 1 2 F (c,0) , F (c,0) .
由2 M,F ,Ql知
2 2 F M / /F Q，
2 2 0 F M  (x c , y) , FQ  (c , y )，则有 0y (x c)  cy；
由1 1 FM  FQ知
1 1 FM  FQ，
1 1 0 FM  (x c , y) , FQ  (c , y )，则有 0 c(x c)  y y  0；
∴两式联立消去0 y 点得M(x, y)满足 2 (x  c)(x c)  y ，即 2 2 2 x  y  c ； ……………9分
又点M 在椭圆C 上，即有1 2
2
2
2
 
b
y
a
x
， 即2 2 2 2 2 2 b x  a y  a b ，
∴两式联立得
4 4
2 2
2 2 2 2 ,
a b
x y
a b a b
 
 
； 又2 2 a  b  4，即
2 2
,
2 2
a b
x  y  ………11 分
∴点M(x, y)满足
2 2
2
a b
x y
  ，即点M 在定直线x  y  2上. ……………………12分
21．【解】（1）①由题设知：h x f x g x e m h m h n x '( )  '( )  '( )   , '(0) 1 , (0) 1 ，
得 h m
n
  
 
' (0) 1
0 1
1 0
，即m n  2 ．…………………………3分[
②由题设知：h x e m x '( )   是增函数，且 h   e m h   e m 1 1 '( 1) ， ( 1) ；
（ⅰ）当 h' (1)  0即 1 m  e 时，x(1,)恒有h' (x)  0知h(x)是增函数，此时
只需 h(1)  0即 1 m  e ，得 1 1  e  m  e . …………………………5分
（ⅱ）当 h' (1)  0即 1 m  e 时，有h'(ln m)  0知：
x(1, ln m)时h' (x)  0，h(x)递减，x(ln m , )时有h' (x)  0，h(x)递增；
由h(0) 1 0知此时
需 ( ) (ln ) ln 0 min h x  h m  mm m  即 m  e，得 e  m e 1 .………………7 分
由上述知： e  m  e 1 ………………………………………8 分
（2）由题设知：
4
4
( )
  
x
x
r x e x ，得“x  0时r(x) 1”等价“x  0时 1
4
(4 3 )
x
x ex
”
设
4
(4 3 )
( )
x
x e
u x
x
，当x  0时有 0
( 4)
3 8
'( ) 2
2
 
x
x x
u x ，即u(x) 在x  0时为减函数.
得u(x)  u(0) 1，即 1
4
(4 3 )
( ) 
x
x e
u x
x
．
也即x e
x
x
x
x  
4
4 3
4
4
1 ，故命题得证明. …………………………12 分
22．【解】（1）由题设知：  2 3 cos  2sin ，得 （2 3 cos 2sin） 2  
∴曲线C的直角坐标方程为x y 2 3x 2y 2 2    ，
即 3 1 4 2 2 （x  ）（y  ） ．……………………………………5 分
（2）由（1）题设知：曲线C是以（ 3，1）为圆心，2为半径的圆. 则直线l过圆心 .
又由点P(x, y)在直线l与曲线面上知： , [ 2 , 2]
2
1
1
2
3
x  3  t，y   t t  .
∴  3x  y  4 t[2 , 6]．……………………………………10 分
23．【解】（1）∵ f (x) | 2x  3|  | x 1| .
3
3 2
2
3
( ) 4 1
2
3 2 1
x x
f x x x
x x
   

      
  

………………2 分
3 3
1 1
( ) 4 2 2
3 2 4
3 2 4 4 4
x x x
f x
x
x x
 
       
    
          
或 或 x  2或0  x 1或x 1……4 分
综上，不等式 f (x)  4的解集为：,2 (0,)……………………5 分
（Ⅱ）由（1）题设知： min
5
( ( ))
2
f x  ……………………………………………6 分
又由 mt  t m  (mt)(t m)  2m 知： f (x) 2m min  ，即  m
4
5
.………………9 分
∴实数m的取值范围是（， ）（ ，）
4
5
4
5
 ．……………………10 分

编辑者：烟台家教（烟台家教网)


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