烟台家教:潮师高中2018 届高三上学期期中考试数 学 (文科)


来源:烟台家教中心 日期:2018/8/22
一、选择题(每小题5 分,总50 分)
1.已知集合 A{x x 1}, 2 B {x x  2x  0},则 AB ( )
A. {x x  0} B. {x x 1} C. {x 1 x  2} D. {x 0  x  2}
2.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,)上单调递增的函数为( )
A. 1 y x  B. y | x | C. 2 y  log x D. 2 y  x
3.设i 为虚数单位,则复数
2
i
 i
等于( )
A.
1 2
5 5
 i B.
1 2
5 5
  i C.
1 2
5 5
 i D.
1 2
5 5
  i
4.设 f (x)为奇函数,当x  0时, f x  x  x 2 ( ) ,则 f 1 ( )
A.  2 B.0 C. 2 D. 1
5.某几何体的三视图如右图所示,它的体积为( )
A.72 B. 48 C.36 D.12
6.已知函数 1( 0)
1
( )    x 
x
f x x ,则 f (x)的( )
A.最小值为3 B.最大值为3
C.最小值为1 D.最大值为1
7.函数 f (x)  Asin(x )(其中 0,| |
2
A
   )的图象如图所示,为了得到 f (x)的图像,
则只要将g(x)  sin 2x的图像 ( )
A.向左平移
6
个单位长度 B.向右平移
6
个单位长度
C.向左平移
3
个单位长度 D.向右平移
3
个单位长度
第7 题图
 
8.如右上图,在ABC中,点D是BC边上靠近B 的三
等分点,则AD ( )
A. AB AC
3
1
3
2
 B. AB AC
3
1
3
2
 C. AB AC
3
2
3
1
 D. AB AC
3
2
3
1
9.已知O 是坐标原点,点A(-1,1) ,若点 M(x,y) 为平面区域


 
y 2
1
2
x
x y
上的一个动点,则
OA OM 的取值范围是( )
A. [-1,0] B. [0,1] C. [0,2] D. [-1,2]
10.设函数3 f (x)  x  4x  a(0  a  2)有三个零点 1 2 3 x , x , x ,
且1 2 3 x  x  x 则下列结论正确的是( )
A. 1 x  1 B. 2 x  0 C. 2 0  x 1 D. 3 x  2
二、填空题:本大题共4 小题,每小题5 分,满分20 分.
11.已知 ,0)
2
(
  ,且
4
sin( ) ,
2 5
  则tan 
12.直线
1
4
y   x  b是函数
1
f (x)
x
 的切线,则实数b  .
13. 设函数


 
2
1
2 1
( )
x
f x
x
0
0
x
x
,若 ( ) 1 0 f x  ,则 0 x 的取值范围是
14. 向量AB, AC在正方形网格中的位置如图所示.
设向量a  AC AB ,若a  AB,则实数  __________.
三、解答题(共80 分)
C
A B
A B
C
D
 
D
A1
B1
B
A
15.(本小题满分12 分)
已知函数( ) sin( ), ( 0)
6
f x x
     的周期是 .
(1)求 和( )
12
f
的值;
(2)求函数( ) ( ) ( )
6 12
g x f x f x
 
    的最大值及相应x 的集合.
16.(本小题满分12 分)
某学校甲、乙两个班参加体育达标测试,统计
测试成绩达标人数情况得到如图所示的列联表, 已知
1
10
在全部学生中随机抽取 1 人为不达标的概率为 .
(1)请完成上面的列联表;
(2)若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6 人,问其中从甲、乙两个班分别
抽取多少人?
(3)从(2)中的6 人中随机抽取2 人,求抽到的两人恰好都来自甲班的概率.
17. (本小题满分14 分)已知向量m=(sin B,1-cos B),且与向量n =(1,0)的夹角为
3
π
错误!未找
到引用源。,其中A,B,C 是△ABC 的内角.
(1)求角B 的大小;
(2)求sin A+sin C 的取值范围.
18. (本小题满分14 分)
如图,在三棱柱1 1 1 ABC  A BC 中,侧棱 1 AA  底面ABC ,
组别 达标 不达标 总计
甲班 8
乙班 54
合计 120
 
AB  BC,D为 AC的中点, 1 A A  AB  2 , BC  3.
(1)求证: 1 AB / /平面 1 BC D ;
(2) 求四棱锥1 1 B  AAC D的体积.
19.(本小题满分14 分)
已知函数 f (x)  x  aln x
(I)当a 1时,求曲线 y  f (x)在点(1, f (1))处的切线方程;
(II)在(I)的条件下,求 f (x)的极值;
(III)讨论 f (x)的单调区间。
20.(本小题满分14分)已知 f (x)  x ln x, g x  x  x  a 2
2
1
( ) .
(1)当a  2时,求函数y  g(x)在[0,3]上的值域;
(2) 求函数 f (x)在[t,t  2](t  0)上的最小值;
(3) 证明: 对一切x(0,),都有
( ) 1 2
ln x
g x
x x
e e
 
  成立
2018 届高三上学期期中数学(文科)考试参考答案
CBAAD DABCC
 
-
4
3
; 1或-1; ; 3
15.解:(1)∵函数( ) sin( )
6
f x x
   的周期是 且  0
T
  
2
,解得  2 … ……………………………………………………2分
∴ ( ) sin(2 )
6
f x x
  …………………………3 分
∴ 3
( ) sin(2 ) sin
12 12 6 3 2
f
   
     ………………………………………5 分
(2) ( ) ( ) ( ) sin[2( ) ] sin[2( ) ]
6 12 6 6 12 6
g x f x f x x x
     
          ……………6 分
sin(2 ) sin 2 cos2 sin 2 2 sin(2 )
2 4
x x x x x
 
       …………………8 分
当2 2 ,
4 2
x k k z
 
     即
8
x k
   时, g(x)取最大值 2 …………………10分
此时x 的集合为{ , }
8
x x k k Z
    ……………………………………12分
16.解:(1)
……………………3 分
(2)由表可知:用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为
8
6=4
12
 人,……………4 分
从乙班抽取的人数为
4
6=2
12
 人……………………………………………5 分
(3)设从甲班抽取的人为a,b, c,d ,从乙班抽取的人为 1,2;
“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件A .………………………………………6 分
所得基本事件共有15 种,即:
ab,ac,ad,a1,a2,bc,bd,b1,b2,cd,c1,c2,d1,d2,12 ……………………………8 分
其中事件 A包含基本事件ab,ac,ad,bc,bd,cd,共 6种,……………………10分
由古典概型可得
6 2
( )
15 5
P A   ……………………………………………………12 分
17.解:(1)∵m=(sin B,1-cos B),且与向量n=(1,0)的夹角为错误!未找到引用源。,
组别 达标 不达标 总计
甲班 54 8 62
乙班 54 4 58
合计 108 12 120
 
∴cos 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用
源。, …………3 分
∴2sin2B=1-cos B, …………4 分
∴2cos2B-cos B-1=0, …………5 分
∴cos B=1 或cos B=-错误!未找到引用源。…………6 分
又0
(2)由(1)可得A+C=错误!未找到引用源。,∴sin A+sin C=sin A+Sin(错误!未找到引用源。 -A)
=错误!未找到引用源。sin A+错误!未找到引用源。cos A=sin(A+错误!未找到引用源。), ……10
∵0
用源。,…………11 分
∴sin A+错误!未找到引用源。∈错误!未找到引用源。,…………13 分
∴sin A+sin C∈错误!未找到引用源。.…………14 分
18. (1)证明:连接1 BC,设1 BC 与1 BC 相交于点O,连接OD,
∵ 四边形1 1 BCC B 是平行四边形, ∴点O为1 BC 的中点.
∵ D 为AC 的中点,∴OD为△ 1 ABC 的中位线,
∴ OD/ /AB1 . ……………………… 3分
∵OD  平面1 BC D , 1 AB  平面1 BC D ,
∴ 1 AB / /平面 1 BC D . …………………………………… 6 分
(2)解法1: ∵ 1 AA  平面ABC , 1 AA  平面1 1 AAC C ,
∴ 平面ABC  平面1 1 AAC C ,且平面ABC 平面1 1 AAC C  AC.
作BE  AC,垂足为E ,则BE 平面 1 1 AAC C , …………… 8 分
∵ 1 AB  BB  2,BC  3,
在Rt△ ABC 中, 2 2 AC  AB  BC  49  13,
6
13
AB BC
BE
AC
  ,… 10 分
 
∴四棱锥1 1 B  AAC D的体积   1 1 1
1 1
3 2
V   AC  AD AA BE …… 12分
1 3 6
13 2
6 2 13
     3.
∴四棱锥1 1 B  AAC D的体积为3. …… 14分
解法2:提示
B AA1C1D D CBC1 V V V    三棱柱 
19.解:(I)当a 1时, f (x)  x  ln x,
1
f '(x) 1 (x 0)
x
   ------------------------------1 分
f (1) 1, f '(1)  2 -------------------------------3 分
所以切线方程为2x  y 1 0 --------------------------------5 分
(2)函数的定义域为(0,),由(1)得
x
x
f x
1
( ) ' 
 ,-----6 分
∵x>0  ( ) 0 ' f x  恒成立 -----8 分
∴f(x)在(0,)上单调递增,没有极值 ---------9分
(3) '( ) ( 0)
x a
f x x
x
  -----------------------------10 分
当a  0时,在x(0,)时 f '(x)  0,所以 f (x)的单调增区间是(0,);-11分
当a  0时,函数 f (x)与 f '(x)在定义域上的情况如下:
x (0,a) a (a,)
f '(x)  0 +
f (x) ↘ 极小值 ↗
------------------------------------13 分
综上,当a  0时, f (x)的单调增区间是(0,);当 a<0 时, f (x)的单调增区间是(a,),减
区间是(0,a)。---------------14分
20.(本小题满分14 分)
解:(1)∵g(x) =
2
3
( 1)
2
1 2 x   , x∈[0,3] ………….. 1分
当x 1时,
2
3
( ) (1) min g x  g  ;当x  3时,
2
7
( ) (3) max g x  g 
故g(x)值域为 ]
2
7
,
2
3
[ ………………. 3 分
 
(2)f '(x)  ln x 1,当
1
x (0, )
e
 ,f '(x)  0,f (x)单调递减,当
1
x ( , )
e
  ,f '(x)  0,f (x)单
调递增. …………………………. 5 分
1
0 t t 2
e
    ,t 无解; …………… 6 分
1
0 t t 2
e
    ,即
1
0 t
e
  时, min
1 1
f (x) f ( )
e e
   ; ………………. 7 分
1
t t 2
e
   ,即
1
t
e
 时, f (x)在[t,t  2]上单调递增, min f (x)  f (t)  t lnt ;……8分
所以min
1 1
0
( )
1
ln
t
e e
f x
t t t
e
   
 
 

. ………………. 9 分

 

编辑者:烟台家教烟台家教网)



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